Question

已知函数f（x）=（x2-2ax）ex，g（x）=clnx+b， 根号2是函数y=f（x）的极值点，

已知函数f（x）=（x2-2ax）ex，g（x）=clnx+b， 根号2是函数y=f（x）的极值点，其中e是自然对数的底数． （Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）直线l同时满足： ①l是函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线； ②l与函数y=g（x）的图象相切于点P(x0，y0)，x0∈[e-1，e]．求实数b的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=（x2-2ax）ex
∴f'（x）=（2x-2a）ex+（x2-2ax）ex=[x2+2（1-a）x-2a]ex…（2分）
由已知，f′(
2
)=0，∴[2+2
2
(1-a)-2a]e
2
=0，
∴2+2
2
-2a-2
2
a=0，得a=1 …（4分）
（Ⅱ）f（x）=（x2-2x）ex，∴f'（x）=（x2-2）ex∴f（2）=0，f'（2）=2e2
函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线l的方程为：y=2e2（x-2），
∵直线l与函数g（x）的图象相切于点P(x0，y0)，x0∈[e-1，e]，∴y0=clnx0+b
又g′(x)=
c
x
，所以切线l的斜率为g′(x0)=
c
x0
，
故切线l的方程为：y-y0=
c
x0
(x-x0)
即l的方程为：y=
c
x0
x-c+b+clnx0得
c
x0
=2e2

-c+b+clnx0=-4e2

⇒
c=2e2x0
b=c-clnx0-4e2

…（8分）
得b=2e2（x0-x0lnx0-2）其中x0∈[e-1，e]（10分）
记h（x0）=2e2（x0-x0lnx0-2）其中x0∈[e-1，e]，h′（x0）=-2e2lnx0，
令h'（x0）=0，得x0=1．

x0 （e-1，1） 1 （1，e）
h′（x0） + 0 -

h（x0） 增 极大值-2e2 减
又h（e）=-4e2，h（e-1）=4e-4e2＞-4e2．
∵x0∈[e-1，e]，∴h（x0）∈[-4e2，-2e2]，
所以实数b的取值范围为：-4e2≤b≤-2e2．