Question

本人有道题不东，还请大家帮个忙，谢谢！

设椭圆x^2/(m+1)+y^2=1的两个焦点是F1（-c,0)与F2(c,0),(c>0),，且椭圆上存在一点P，使得直线PF1与PF2垂直，计算三角形F2PF1的面积。

Answer 1

设椭圆x²/(m+1)+y²=1的两个焦点是F₁(-c，0)与F₂(c，0)；(c>0),，且椭圆上存在一点P，使得
直线PF₁⊥PF₂，计算△F₂PF₁的面积。
解：椭圆参数：a=√(m-1) (m>2)；b=1；c=√(a²-b²)=√(m-2)；
设P点的坐标为(xo，yo)，P在椭圆上，故其坐标满足椭圆方程，即有xo²/(m-1)+yo²=1..........(1)；
由于PF₁⊥PF₂，故P在以O为园心，c=√(m-2)为半径的园上，即有xo²+yo²=m-2................(2)；
由(1)(2)得(m-1)(1-yo²)=m-2-yo²，故得yo²=1/(m-2)，yo=±√[1/(m-2)]；∣F₁F₂∣=2c=2√(m-2)；
∴△F₂PF₁的面积=(1/2)∣F₁F₂∣∣yo∣=(1/2)[2√(m-2)]√[1/(m-2)]=1。