Question

正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF、，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上

正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF、，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上。若MN=EF，则MN垂直EF。为什么？

Answer 1

解：如图，过点B做EF的平行线交CD于点H，过点A做MN的平行线交BC于点G，AG交BH于点P

       易证四边形AGNM、BEFH为平行四边形

       ∴EF=BH,MN=AG

       ∵EF=MN

       ∴BH=AG

       在正方形ABCD中，∠C=∠ABG=90°，BC=AB

       ∴Rt△BCH≌Rt△ABG（HL）

       ∴∠BAG=∠CBH

       ∵∠BAG+∠BGA=90°

       ∴∠CBH+∠BGA=90°

       ∴∠BPG=90°

       ∴AG⊥BH

       ∵AG∥MN,BH∥EF

       ∴MN⊥EF

Answer 2

证明;：分别过点E ,M作EG平行AB ,MH平行AD,，分别交BC于G ,交CD于H，设MN与EF相交于点O
因为四边形ABCD是正方形
所以AB=AD
角A=角B=角C=90度
AE平行BG
BM平行CH
所以四边形ABGE和四边形BMHC是矩形
所以AB=EG
角EGF=90度
MH=BC
角MHN=90度
所以角EGF=角MHN=90度
EG=MH
因为MN=EF
所以直角三角形EGF和直角三角形MHN全等（HL)
所以角EFG=角MNH
因为角EFG+角EFC=180度
所以角EFC+角MNH=180度
因为角EFC+角C+角MNH+角FON=360度
所以角FON=90度
所以MN垂直EF

Answer 3

如图，作EP⊥BC，MQ⊥CD，则EP⊥MQ

所以 ∠1+∠3=90°

可以通过证明△MNQ≌△EFP(HL)得到∠1=∠2

所以∠2+∠3=90°

所以MN垂直EF。

Answer 4

这是怎么个情况呢。。。只要里面是矩形。。。