Question

若不等式x²+2+│x²-2x│≥ax对任意x属于（0，4）恒成立，则实数a的取值范围

Answer 1

思路：想法是先将绝对值去掉，然后利用二次函数的最值，基本不等式等方法来解决。
解：去掉绝对值 分为两种情况
（1）如果0<x≤2，则│x²-2x│=2x-x²，所以x²+2+│x²-2x│≥ax可以变形为
x²+2+2x-x²≥ax，这等价于2x+2≥ax对任意的0<x≤2恒成立，
即：a≤2+2/x对任意的0<x≤2恒成立，只需要a小于2+2/x的最小值即可，而2+2/x在0<x≤2的最小值为3（当x=2时最小），故a≤3。
（1）如果2<x<4，则│x²-2x│=x²-2x，所以x²+2+│x²-2x│≥ax可以变形为
2x²-2x+2≥ax，即a≤-2+2x+2/x，根据基本不等式2x+2/x≥2倍的根号（2x×2/x）=4，所以
-2+2x+2/x的最小值-2+4=2,。但是值得注意的是取等号的条件是2x=2/x，得x=1，而我们讨论的范围是2<x<4，所以在这个范围内的最小值不是2，应该是x=2时-2+2x+2/x最小为3，因此a≤3。

综合上述的讨论：我们可以得出当a≤3时，不等式x²+2+│x²-2x│≥ax对任意x属于（0，4）恒成立。

小结：以后做关于含有x，a两个变量恒成立的题目时，我们一般的思路就是把含有x的式子转化在一边，变成形如a≤f(x)或者a≥f(x)，前者只需算出a小于f(x)的最小值，后者只需a大于f(x)的最大值。由此这类的问题变成了求最值问题。希望你能有所收获，祝你学习进步。