Question

在三角形ABV中，若AB=2,AC² BC²=8,则三角形ABC面积的最大值

谢谢~^O^

Answer 1

答：姑且认为题目的条件是AC^2+BC^2=8，因为看不到中间的符合是什么。
根据余弦定理知道：
cosC=(AC^2+BC^2-AB^2)/(2AC*BC)
=(8-2^2)/(2AC*BC)
=2/(AC*BC)

S=AC*BC*sinC/2
=AC*(BC/2)*√{1-[2/(AC*BC)]^2}
=√[(2AC*BC)^2/16-1]
<=√[(AC^2+BC^2)^2/16-1]
=√(8*8/16-1)
=√3
所以三角形ABC的面积最大值为：√3

Answer 2

　　利用余弦定理表示出cosC，把已知的两等式代入得到cosC=
　　2
　　ab
，利用同角三角函数间的基本关系得到cotC=
　　cosC
　　sinC
，
把表示出的cosC代入，整理后根据三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系变形，用tanC表示出三角形ABC的面积S，要求面积S的最大值，即要
求tanC的最大值，而cosC在（0，90°）为减函数，tanC为增函数，故cosC取得最小值，tanC就取得最大值，根据余弦定理表示出的
cosC得到，a=b时cosC取得最小值，由a与b的关系式求出a=b=2，即三角形ABC为边长为2的等边三角形时面积最大，根据边长为2即可求出此
时三角形ABC面积，即为面积的最大值．

　　解：令AC=b，BC=a，AB=c，则c=2，a2+b2=8，
根据余弦定理得：cosC=
　　a2+b2-c2
　　2ab
=
　　2
　　ab
，
∴cotC=
　　cosC
　　sinC
=
　　2
　　absinC
=
　　1

　　1
　　2
absinC

=
1
S
，
即S=tanC，又0＜C＜90°，且tanC单调增，
而cosC=
a2+b2-c2
2ab
，当且仅当a=b时，cosC最小，
又cosC单调减，cosC最小时，tanC最大，又a2+b2=8，
则当a=b=2，即△ABC为等边三角形时，△ABC面积最大，最大面积为

3

4
×22=
3
．
故答案为：
3
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