Question

一道数学题！导数！急！！

一直落在地面的一处烟尘浓度与这点到烟囱的距离的平方成反比，与烟囱喷出的烟尘量成正比，现有A,B两座相距20km的烟囱，B喷出的烟尘量是A的8倍，是在A,B连线上，求出烟尘量最低的一点C。

在线等，万分紧急！！！

Answer 1

Xa = 1/r^2
Xb = 8/(20-r)^2

X = Xa + Xb = 1/r^2 + 8/(20-r)^2
X 代表烟尘量, 是 r 的函数.r表示与A之间的距离

对函数 X(r) 求导
X'(r) = -2/r^3 + 16/(20-r)^3

令 X'(r) = 0 求极值点
0 = -2/r^3 + 16/(20-r)^3
2/r^3 = 16/(20-r)^3
1/r^3 = 8/(20-r)^3
1/r = 2/(20-r)
2r = 20 - r
3r = 20
r = 20/3

与 A 相距 6.67 km处, 烟尘量最低

Answer 2

解：设B喷出的烟尘量为y，则A喷出的烟尘量为8y，设c点到A的距离为xkm，则c到B的距离为（20-x）km
c点的烟尘浓度w=k【8y/x+y/(20-x)】， k，y为常数
对w求导的w'=ky【-8/x2+/(20-x)2】
定w’=o
解得x=14.77km

Answer 3

1.
当x∈[-2，0)时，f（x）=tx-½x³

当x∈(0，2]时，f（x）=
-
f（-x)=-[t(-x)
-
½(-x)³]=tx-½x³

当x=0时，f（x）=
0

所以，f（x）=tx-½x³

2.
把f（x）看作关于t的一次函数，发现：f（t）在定义域上单调减，所以，无论x取何值，仅在t=6是取得最小值。
令t=6，f’（x）=6-3/2*x^2，令其大于0，解得：-2<x<2，所以此时，f(x)在[-2，0]上单调增。
所以，当x=-2时，f(x)取得f最小值-8

3.
由(2)可知，当t=6时，f(x)在定义域上单调增，所以，t≥9时，f(x)在定义域上更是单调增了（范围更大了）。
所以，f(x)的最大值为f(2)=2t-4，当t=9时，取最小值14。所以，命题得证。

我好辛苦啊！！五星采纳吧～