Question

已知a大于0,b大于0,求证a根号a+b根号b大于等于a根号b+b根号a

Answer 1

证明：
a√a+b√b-(a√a+b√a)
=a√a+b√b-a√b-b√a
=a√a-a√b+b√b-b√a
=a(√a-√b)+b(√b-√a)
=a(√a-√b)-b(√a-√b)
=(√a-√b)(a-b)
因为a>0.b>0
（1）当a>b>0时
a-b>0
√a-√b>0
所以(√a-√b)(a-b)>0
（2）当b>a>0时
a-b<0
√a-√b<0
所以(√a-√b)(a-b)>0
（3）当a=b>0时
a-b=√a-√b=0
所以(√a-√b)(a-b)=0
综上所述
a√a+b√b-(a√a+b√a)≥0

或者
a√a+b√b-(a√a+b√a)
=a√a+b√b-a√b-b√a
=a√a-a√b+b√b-b√a
=a(√a-√b)+b(√b-√a)
=a(√a-√b)-b(√a-√b)
=(√a-√b)(a-b)
=(√a-√b)(√a+√b)(√a-√b)
=(√a-√b)²(√a+√b)
因为a>0.b>0
所以√a+√b>0
(√a-√b)²≥0
a√a+b√b-(a√a+b√a)≥0
所以 a√a+b√b≥a√b+b√a

Answer 2

asqrta+bsqrtb
=sqrt(a^3+b^3+2absqrtab)

asqrtb+bsqrta
=sqrt(a^2b+b^2a+2absqrtab)

这题就变化为了证明a^3+b^3大于等于a^2b+b^2a
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
a^2b+b^2a=ab(a+b)
这道题变化为了a^2-ab+b^2大于等于ab
用均值不等式a^2+b^2>=2ab即可

Answer 3

a>0，b>0，求证：a√a+b√b≥a√b+b√a
证：a√a+b√b-a√b-b√a
=a(√a-√b)-b(√a-√b)
=(√a-√b)(a-b)
=(√a-√b)²(√a+√b)≥0
所以 a√a+b√b≥a√b+b√a

Answer 4

当0＜a＜b＜1时 此不等式不成立