Question

有一数列，第一个数是105，第二个数是85，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数，那么

有一数列，第一个数是105，第二个数是85，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数，那么，第2011个数四舍五入保留整数是（ ）。

结果为92 对吗？
我算得92，但是我发现百度上有人算得91。到底是怎么回事啊？

我的思路：
先算几个，
105
85
95
90
92.5
91.25
91.875
91.5625
91.71875
91.640625
91.6796875
91.66015625
91.669921875
91.6650390625
……
我发现：
无论怎样变化，小数部分都大于0.6，整数部分为91，则四舍五入后应该为 92 。

大神帮我算算我这么算对吗？结果对吗？
求详解。

在此谢过

Answer 1

做个理论推理 a1=105 a2=85 a3=(a1+a2)/2
an=(a(n-1)+a(n-2))/2
an-a(n-1)=-1/2(a(n-1)-a(n-2))
{an-a(n-1)}是以-1/2为公比的等比数列。
an-a(n-1)=(-1/2)^(n-2) (a2-a1)=(-1/2)^(n-2) *20
an=a(n-1)+(-1/2)^(n-2) *20
=a(n-2)+(-1/2)^(n-2)*20+(-1/2)^(n-3)*20
=....
=a2+(-1/2)^(n-2)*20+(-1/2)^(n-3)*20+......+(-1/2)^1 *20
=85+20((-1/2)^(n-2)+(-1/2)^(n-3)+......+(-1/2)^1)
=85+20((-1/2)(1-(-1/2)^(n-2))/(-1-1/2)
=85+40/3 *(1/2-1/2(-1/2)^(n-2))
=85+20/3-20/3(-1/2)^(n-2)
=91+2/3-20/3(-1/2)^(n-2)
n很大时20/3(-1/2)^(n-2)　趋于0
所以an 趋于91+2/3 这时有极限的
a2011 趋于91+2/3约等于91.6667

追问

我推几步就找不到规律了，你能说说思路么？

追答

这是个数列哦
a1=105 a2=85
a3=(a2+a1)/2
...
an=(a(n-1)+a(n-2))/2 每个数都是它前面两个数的平均数

解得an=91+2/3-20/3 *(-1/2)^(n-2)=91+2/3-20/3 *(-1)^(n-2) /2^(n-2)
取极限lim(n->+无穷大)an=91+2/3

追问

高手啊。。。谢谢哦，你真的牛，我怎么就没想到呢

Answer 2

恩，就是这样的，。
你算得这些值，我核对了下，后边数的小数部分第一个都是6.

你算得是对得。

追问

你去搜这个题，也是今天才问的。有个最佳答案说的是第6个为91.4… 。所以后面的会无限逼近91。我纳闷了，我没发现在第8个以后有哪一个小于91.6的。。。但是问那个人把结果为91的那个选了。

追答

正常啊，百度知道上的人，有的人判断力比较低。
知道上有的问题有多个答案，可是提问者选的不是最准确的那个，这种情况还是大有人在的。

相信自己的判断力，就好····

追问

谢谢了哦 ，楼下有个是自己写的吗？ 递推的式子写得那么华丽

追答

我看到了····
真是大牛啊···

Answer 3

是对的，应为前两位已经定位了，无法改变，四舍五入后就一定是92