Question

证明方程4^ x-x-1=0在(1,2)内有且仅有一个根.

帮帮忙吧，谢谢啦。。

Answer 1

令f（x）=4^x-x-1，对其求导函数4^x•ln4-1显然在（1，2）是大于零，即单调递增，把1和2分别代入f（x）分别是2和13，所以f（x）=0无解呢。。

到底是我算错了还是题不对？
我觉得应该是这个思路

追问

是我题写错了

追答

噢。。。但解题思路基本这样的

Answer 2

解构造函数y=4^x-x-1 x属于（1，2）
求导y'=（4^x-x-1）'=4^xln4-1
由 x属于（1，2）
则1＜4^x＜16， ln4＞1
即1＜4^xln4
即4^xln4-1＞0
即y'=4^xln4-1＞0
即函数y=4^x-x-1 在 x属于（1，2）是增函数
又因为f（1）f（2）=（4^ 1-1-1）（4^ 2-2-1）＞0
即4^ x-x-1=0在(1,2)无根
即本题有问题，请检查。

追问

不对，是x的4次方，不是4的x次方。。
不知道是我写错了还是。。。
重算一遍吧，谢谢了。

追答

你写的是4^ x-x-1=0
现在是x^ 4-x-1=0
则构造函数y=x^4-x-1 x属于（1，2）
求导y'=（x^4-x-1）'=4x^3-1
由 x属于（1，2）
则x^3＞1
即4x^3＞4
即y'=（x^4-x-1）'=4x^3-1＞0
即函数y=x^4-x-1 在 x属于（1，2）是增函数
又因为f（1）f（2）=（1^ 4-1-1）（2^4-2-1）=-1×13＜0
即方程4^ x-x-1=0在(1,2)内有且仅有一个根.。

Answer 3

没根吧