Question

求助一条高数题，谢谢~~ 求作一个二阶常系数齐次线性微分方程,使得1,e^x,2e^x,e^x+3是它的解 怎么算啊？

Answer 1

这4个解都有形式A+Be^x，由于是二阶常系数齐次线性微分方程，故A+Be^x可以作为通解。
这样此方程的两个特征根为0和1，特征方程为r^2-r=0 .
所求微分方程为y''-y'=0

Answer 2

1.此方程的两个特征根为0和一,可以构造特征方程x^2-x=0,然后就可以反推出原方程.
2.根据叠加原理,如果x,y都是一个齐次线性微分方程的解,则x与y的线性叠加都是微分方程的解,所以实质上的解就只有前两个

追问

可以详细一点吗？谢谢

追答

你只需要看这四个解中哪几个解线性无关,然后其他解可以用他们表示,此例中是e^x和e^0,然后可以知道0和1是微分方程的特征根.设微分方程是y''+py'+qy=0,则r^2+pr+q=0是特征方程,将0和1代入解得p和q,即可得原方程为y''-y'=0

追问

请问怎么得出特征根啊？

追答

解方程啊r^2+pr+q=0 r就是特征根

追问

是怎么得出特征根是0和1啊？

追答

特征根不就是e^()括号里的指数么,二阶线性微分方程写出特征方程,得出特征根p,q,然后解就是e^px和e^qx.由e^0和e^x是根可知特征根是0和1.你到底知不知道怎么解微分方程啊,你如果不知道,那你让别人怎么解释啊,这解微分方程是一个系统的步骤,你自己好好看看书吧,不难的