Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE（1）证明：BD

第（2）问的答案网上都是3，但是我怎么算都是2√5，求大神指教！

Answer 1

（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD
∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥BD
∴BD⊥平面PAC
（2）这一问主要是要找对二面角，首先另AC、BD交于点O。然后有两种做法，一是做出二面角的平面角，一是直接根据‘二面角的余弦值=一个面上某三角形在另一面上的投影面积与原三角形面积的比值‘求出其余弦值再求正切值。
对于第一种方法：连结OE ∵PC⊥平面BDE ∴PC⊥BE且PC⊥OE 则∠BED是所求的角
∵BD⊥平面PAC∴BD⊥AC且BD⊥OE于E 又∵底面ABCD是矩形 ∴底面ABCD是正方形
可求出各段长度：AB=BC=CD=DA=2，AC=BD=2√2,PB=PD=√5，PC=3
∵Rt⊿CEO∽Rt⊿CAP∴OE∶PA＝OC∶PC 得OE＝√2/3
∴tan∠BED＝OB/OE=3
第二种解法：连结PO ∵BD⊥平面PAC ∴⊿POC是⊿PBC的投影
则cosα=S⊿POC/S⊿PBC
∵BD⊥平面PAC∴BD⊥AC且BD⊥OE于E 又∵底面ABCD是矩形 ∴底面ABCD是正方形
可求出各段长度：AB=BC=CD=DA=2，AC=BD=2√2,PB=PD=√5，PC=3
可算出S⊿POC＝√2/2 S⊿PBC=√5 ∴cosα=√10/10 ∴sinα=3√10/10 ∴tanα=sinα/cosα=3

追问

为什么PC=3，PC不是Rt△PAC的斜边吗？不是应该等于√5吗？

追答

。。。。。你是怎么想的，底面ABCD是正方形AC=2√2

追问

∠PAC是直角吧？PC是斜边吧？那么PC=√PA²+AC²=√5

追答

是啊，AC²=﹙2√2﹚²=8!!!!!!!!!!

Answer 2

上楼的不全面，线面垂直要真名一条直线与一个面的两条相交直线垂直，要证明相交的，望采纳

(1) 证明∵PA⊥平面ABCD，BD⊆平面ABCD ∴PA⊥BD
∵PC⊥平面BDE，BD⊆平面BDE ∴PC⊥BD
又∵PA⊆平面PAC， PC⊆平面PAC，且PA∩PC与点P
∴BD⊥平面PAC
第三题是3，上楼的解法很好