Question

一道高数三重积分题、先一后二中的二是什么呢？见图片，谢谢大神

图形在右侧，其中用蓝笔画方框的地方怎么求的呢？谢谢大神！！

Answer 1

先一：对z的积分
后二：关于x和y的二重积分、面积Dz是关于z的积分域
对于圆锥体，x² + y² = z²、截面为圆域x² + y² = z²、面积Dz = ∫∫(Dz) dxdy = πz²
对于球体，x² + y² + z² = 2az、截面为圆域x² + y² = 2az - z²、面积Dz = π(2az - z²)
所以Dz用面积公式求就是了，圆形就代圆面积，椭圆就代椭圆面积，三角形就代三角形面积等
之后可以将整个关于z的面积代入∫∫Dz dxdy

这快速方法是针对被积函数f(x，y，z)是只关于z的函数、例如这里的被积函数是z，没有x和y
若被积函数是xyz、就不能直接将面积代入，而是将∫∫Dz f(x，y) dxdy化为二次积分计算
例如被积函数只是关于z，∫∫Dz dxdy = ∫(0→2π) dθ ∫(z₁→z₂) r dr、其实就是面积π(z₂² - z₁²)
若被积函数是x²yz、则∫∫Dz xy dxdy = ∫(0→2π) dθ ∫(z₁→z₂) r³sinθcosθ dr、直接解，不能代入面积