Question

已知数列{an}的前n和为Sn，且Sn+1/2 an=1 设bn=1/2 （2n-1）an，求数列{bn}的前n项和Tn。

Answer 1

S1+1/2a1=1
a1+1/2a1=1
a1=2/3
Sn+1/2 an=1
S(n-1)+1/2a(n-1)=1
an+1/2an-1/2a(n-1)=0
3/2an=1/2a(n-1)
an/a(n-1)=1/3

an=a1q^(n-1)=(2/3)*(1/3)^(n-1)=2*(1/3)^n
bn=1/2 （2n-1）an=1/2(2n-1)*2*(1/3)^n=(2n-1)(1/3)^n
Tn=b1+b2+b3+......+bn
=1/3+3*(1/3)^2+5*(1/3)^3+.....+(2n-1)(1/3)^n
1/3Tn=(1/3)^2+3*(1/3)^3+5*(1/3)^4+.....+(2n-1)(1/3)^(n+1)
2/3Tn=Tn-1/3Tn
=1/3+2*(1/3)^2+2*(1/3)^3+.........+2*(1/3)^n-(2n-1)(1/3)^(n+1)
=1/3+2((1/3)^2+(1/3)^3+.....+(1/3)^n)-(2n-1)(1/3)^(n+1)
=1/3+2*(1/9)(1-(1/3)^(n-1))/(1-(1/3))-(2n-1)(1/3)^(n+1)
=1/3+1/3-(1/3)^n-(2n-1)(1/3)^(n+1)
=2/3-(1/3)^n-(2n-1)(1/3)^(n+1)
Tn=1-(3/2)*(1/3)^n-(3/2)(2n-1)(1/3)^(n+1)

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Answer 2

你好

Sn+1/2 an=1
Sn=1-1/2 an
an=Sn-S（n-1）
=（1-1/2 an）-[1-1/2 a（n-1）]
=1/2 a（n-1）-1/2 an
3/2 an=1/2 a（n-1）
an=1/3 a（n-1）
S1=a1
a1+1/2 a1=1
3/2a1=1
a1=2/3
{an}是一个首项是2/3，公比是1/3的等比数列
an=2/3*1/3＾（n-1）
bn=1/2 （2n-1）an
=1/2（2n-1）*2/3*1/3＾（n-1）
=1/3＾n*（2n-1）
Tn=1/3*1+1/9*3+1/27*5+...+1/3＾n*（2n-1） （1）
1/3Tn=1/9+1/27*3+...+1/3＾（n+1）*（2n-1） （2）
（1）-（2）
2/3Tn=1/3+1/9*2+1/27*2+...+1/3＾n*2-1/3＾（n+1）*（2n-1）
=1/3+2（1/9+1/27+...+1/3＾n）-1/3＾（n+1）*（2n-1）
=1/3+2*1/9*[1-1/3＾（n-1）]/（1-1/3）-1/3＾（n+1）*（2n-1）
=1/3+1/3[1-1/3＾（n-1）]-1/3＾（n+1）*（2n-1）
=2/3-1/3＾n-1/3＾（n+1）*（2n-1）
=2/3-3*1/3＾（n+1）-1/3＾（n+1）*（2n-1）
=2/3-1/3＾（n+1）（2n+2）
Tn=1-1/3＾n*（n+1）

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