Question

若数列满足a1=1,an-1-an=2anan-1，求an

Answer 1

你好

a（n-1）-an=2ana（n-1）
两边同除以ana（n-1）得
1/an-1/a（n-1）=2
1/a1=1
数列{1/an}是一个首项为1公差为2的等差数列
1/an=1+（n-1）*2=2n+1
an=1/（2n+1）

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Answer 2

a(n－1)－a(n)=2a(n)a(n－1)
两边同除以a(n)a(n－1)，得：
[1/a(n)]－[1/a(n－1)]=2=常数
则：数列{1/a(n)}是以1/a1=1为首项、以d=2为公差的等差数列，得：
1/a(n)=1＋2(n－1)
1/a(n)=2n－1
得：
a(n)=1/(2n－1)

Answer 3

同除以 a[n]*a[n-1] 得:
1/a[n]-1/a[n-1]=2
1/a[1]=1
∴ {1/an}是“首项为1，公差为2 的等差数列”。
∴1/an=1+2(n-1)=2n+1
∴ an=1/(2n+1)

Answer 4

Answer 5

解：
n≥2时，a(n-1)-an=2ana(n-1)
等式两边同除以ana(n-1)
1/an -1/a(n-1)=2，为定值。
1/a1=1/1=1，数列{1/an}是以1为首项，2为公差的等差数列。
1/an=1+2(n-1)=2n-1
an=1/(2n-1)
n=1时，a1=1/(2×1-1)=1，同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=1/(2n-1)。

提示：一定要注意n≥2，否则a(n-1)-an=2ana(n-1)中的a(n-1)无定义。此类题目的标准解法是先由n≥2时，求an的表达式，再n=1时，进行检验。