Question

两道数学题目，答案已给出，求详细过程！已知Rt△ABC和Rt△BCD相似，∠ABC＝∠CDB＝90°，且AC＝a，BC

1、已知Rt△ABC和Rt△BCD相似，∠ABC＝∠CDB＝90°，且AC＝a，BC＝b，则BD＝___b²/a或b²√（a²-b²)/a_____．（用含a，b的代数式表示）
2、将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是（　C　）
A．2 B．12 /7 C．12/7或2 D．3或4
问题一原题图片

问题二原题解析，我看得懂过程，但是不明白为什么只分两种情况，例如还可以分成△ABC∽△FCB’,这样的BF=16/7，应该有三个解啊

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Answer 1

第一题可以分为两种情况：一种是∠A＝∠CBD，一种情况是∠A＝∠BCD，所以有两个答案。
第二题因为是△ABC为等腰三角形，所以你说的第三种情况△ABC∽△FCB'与答案中的△B'CF∽△BCA是一回事，即同一种情况。

追问

第二题明显这两种情况答案不相同，还有你两道题能解答的详细点吗

追答

∠A＝∠CBD时，如果学过三角函数，会比较省事，如果没有学过，可以通过相似三角形对应边比值相同来求解。
先求出CD长：因为三角形相似可知：AC:BC=BC:CD，即a:b＝b:CD，CD＝b²/a，再根据直角三角形边的关系可以求出BD＝√（BC²－CD²），代入可求得BD＝（b/a）√（a²-b²)（你题中答案可能有误）
∠A＝∠BCD时，BD:BC=BC:AC,代入可得BD＝b²/a
第二题的解答基本是差不多如你图中所示。
需说的是第二个解法可以省事点，因为△ABC∽△FCB'，所以B'F=FC(等腰三角形)，又因为B'F是由BF折叠而成，所以有B'F=BF，由此可得：BF=CF=B'F，即 B'F长度为BC的一半，即2。

追问

谢谢！
我看出来这两道题都是分类成符合题意的相似三角形讨论，但是做题时如何辨别分成几类呢，就像第二个问题，我就不知道应该分类成几种情况，答案认为两种，我认为三种，现在我明白我的想法是错的，能帮我解答一下吗？
还有第一题，题目说Rt△ABC和Rt△BCD相似，∠A不需要一定对应∠B，是这个样子吗？我的理解是：只有“Rt△ABC∽Rt△BCD”这样说时，∠A一定对应∠B。

追答

1、Rt△ABC∽Rt△BCD，只有两种情况可以满足它们相似，一是∠A＝∠CBD，或者是∠A＝∠BCD，你说的只是情况中的一种，但不一定，因为∠A＝∠C（即∠BCD），这两个三角形也是相似，不一定非得∠A一定对应等于∠B。