Question

已知函数f（x）=e^x-kx^2,x∈R

（1）若函数y=f(x)在（负无穷，正无穷）上单调递增，求实数k的取值范围

（2）若对于任意t∈(0,1],方程f(x)=t恒有三个不同的实数解,求实数k的取值范围
求过程求思路

Answer 1

已知函数f（x）=e^x-kx^2,x∈R
（1）若函数y=f(x)在（负无穷，正无穷）上单调递增，求实数k的取值范围
（2）若对于任意t∈(0,1],方程f(x)=t恒有三个不同的实数解,求实数k的取值范围
(1)解析：∵函数f(x)=e^x-kx^2
令f’(x)=e^x-2kx>=0==>k=<e^x/(2x)
令k(x)=e^x/(2x)==>k’(x)=e^x(2x-2)/(2x)^2=0==>x=1
当0<x<1时，k’(x)<0；x>1时，k’(x)>0；∴函数k(x)在x=1处取极小值k(1)=e/2
∴函数f(x)在R上单调递增，实数k的取值范围为0<k<=e/2

(2)解析：∵对于任意t∈(0,1],方程f(x)=t恒有三个不同的实数解
∵f’(x)=e^x-2kx
∴当x=0时，f’(x)=1，此时f’(x)无关，即无论k取何值，f’(x)图像必过点(0,1)
f’’(x)=e^x-2k=0==>x=ln(2k)
f’’’(x)=e^x>0
∴f’(x)在x=ln(2k)处取极小值2k(1-ln(2k))
当k=e/2时，f’(x)=0==>k>e/2时，f’(x)在x=ln(2k)处取极小值<0
∴k>e/2时，f’(x)有二个零点
即函数f(x)在(0,ln(2k))上存在一个极大值点，在(ln(2k),+∞)上存在一个极小值点
∴函数f(x)与函数y=t(t∈(0,1])，必有三个交点，即方程f(x)=t恒有三个不同的实数解
∴实数k的取值范围为k>e/2

Answer 2

(1)f'(x)=e^x-2kx=0是无解的，也就是说f(x)没有极值点
e^x=2kx>0 k=0时无解。
(2)令g(x)=e^x h(x)=kx^2+t
g(x)与h(x)的图像最多两个交点　不可能有三个不同的实数解

追问

g(x)函数导数一开始小于hx,后来会再次大于hx，可以存在3个交点

Answer 3

（1）因为函数y=f(x)在（负无穷，正无穷）上单调递增，故他的导数g（x）=e^x-2kx≥0。要y=e^x≥y=2kx，故函数y=2kx在直线：X=0和直线y=ex（y=ex 为 函数e^x过原点的切线）之间。故0≤2k≤e，0≤k≤e/2
能帮多少帮多少吧，第二问很难啊