Question

均值不等式比较大小问题

数学符号打不出来，题目放在了相册里：

Answer 1

答案：P最小。
我先解了一遍，然后又用数字验证了一遍，没问题。
首先比较M N
N-M=a-根b-（a-根c）=根c-根b
因为b>c>1 所以N-M<0
N<M

再比较 N P
P-N=[a+b-2根(ab)]-[a-根b]
=b+根b-2根(ab)
=根b[根b+1-2根a]
=根b[(根b-根a)+(1-根a)]
<0
所以P<N

下面比较P Q
Q-P
=a+b+c-3(三次根)abc-[a+b-2根ab]
=c+2根ab-3(三次根)abc
=c+根ab+根ab-3(三次根)abc
根据均值不等式
c+根ab+根ab>=3(三次根)[c*根ab*根ab]=3(三次根)[abc]
当且仅当 c=根ab 时等号成立
而题目已知a>b>c>1 所以等号不成立
即
c+根ab+根ab>3(三次根)[abc]
Q-P>0
即P<Q

综上所述 P是M N P Q中最小的。

Answer 2

n n v\g \ nm nbbn n n nn c

Answer 3

要比较大小最原始的方法是比较的数相减
M,N大小相信你应该懂了这里不再累赘(M大于N)
Q-P=c-3(abc)^(1/3)+2(ab)^(1/2)
而c+2(ab)^(1/2)=c+(ab)^(1/2)+(ab)^(1/2)＞3(abc)^(1/3)(,a＞b＞c＞1)
则Q-P＞0即Q＞P
故只需比较P与N的大小
P-N=b-2(ab)^(1/2)+b^(1/2)
而a＞b＞1所以ab＞b^2＞b即(ab)^(1/2)＞b＞b^(1/2)
所以P-N=[b-(ab)^(1/2)]+[b^(1/2)-(ab)^(1/2)]＜0即
P＜N故P是最小的

Answer 4

Q或P中一个 N M都是大于1的P Q大于0

Answer 5

简单 如果是选择题或者是 填空题可以用特殊值法，也就是取个特殊的数满足a>b>c>1就可以了。如果是计算题吗，，先求M和N 的大小 得M大，再求P和Q的大小，Q-P=c-3(abc)^(1/3)+2(ab)^(1/2)
而c+2(ab)^(1/2)=c+(ab)^(1/2)+(ab)^(1/2)＞3(abc)^(1/3)(,a＞b＞c＞1)
则Q-P＞0即Q＞P
故只需比较P与N的大小
P-N=b-2(ab)^(1/2)+b^(1/2)
而a＞b＞1所以ab＞b^2＞b即(ab)^(1/2)＞b＞b^(1/2)
所以P-N=[b-(ab)^(1/2)]+[b^(1/2)-(ab)^(1/2)]＜0即
P＜N故P是最小的

Answer 6

答案：p最小。
我先解了一遍，然后又用数字验证了一遍，没问题。
首先比较m
n
n-m=a-根b-（a-根c）=根c-根b
因为b>c>1
所以n-m<0
n<m
再比较
n
p
p-n=[a+b-2根(ab)]-[a-根b]
=b+根b-2根(ab)
=根b[根b+1-2根a]
=根b[(根b-根a)+(1-根a)]
<0
所以p<n
下面比较p
q
q-p
=a+b+c-3(三次根)abc-[a+b-2根ab]
=c+2根ab-3(三次根)abc
=c+根ab+根ab-3(三次根)abc
根据均值不等式
c+根ab+根ab>=3(三次根)[c*根ab*根ab]=3(三次根)[abc]
当且仅当
c=根ab
时等号成立
而题目已知a>b>c>1
所以等号不成立
即
c+根ab+根ab>3(三次根)[abc]
q-p>0
即p<q
综上所述
p是m
n
p
q中最小的。