Question

已知:a,b满足a^3-3a^2+5a=1,b^3-3b^2+5b=5,则a+b=____.

Answer 1

x^3-3x^2+5x=(x-1)³+2(x-1)+3
(a-1)³+2(a-1)+3=1
(b-1)³+2(b-1)+3=5
相加得到
(a-1)³+2(a-1)+(b-1)³+2(b-1)=0
(a+b-2)[(a-1)²-(a-1)(b-1)+(b-1)²]+2(a+b-2)=0
(a+b-2)[(a-1)²-(a-1)(b-1)+(b-1)²+2]=0
[(a-1)²-(a-1)(b-1)+(b-1)²]+>0
故a+b=2

追问

为什么[(a-1)²-(a-1)(b-1)+(b-1)²]+>0

追答

左边有个6，右边有个6，合并就为0

追问

哪里有6？

追答

左边有个6，右边有个6，合并就为0
+>是＝号，打错了

追问

我不明白那个6是什么意思

追答

(a-1)³+2(a-1)+3=1

(b-1)³+2(b-1)+3=5
指的这两式相加

追问

这题算到这里不是需要证明[(a-1)²-(a-1)(b-1)+(b-1)²]≠0吗？你算啊

追答

a^2+b^2>=2ab

Answer 2

∵ x³-3x²+5x=(x-1)³+2(x-1)+3
∴ (a-1)³+2(a-1)+3=1 …… ①
(b-1)³+2(b-1)+3=5 …… ②
①+②得：令a-1 = m ； b-1 = n
m³+2m+n³+2n=0
(m+n)[m²-mn+n²]+2(m+n)=0
(m+n)[m²-mn+n²+2]=0
∵m²-mn+n² > 0 恒成立
∴ m+n=0
即：a-1+b-1= 0
∴ a+b = 2