Question

定义在R上的增函数y=f(x)对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，若f（k·3^x

定义在R上的增函数y=f(x)对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，若f（k·3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围

Answer 1

令x=0, y=0得：
f(0)=2*f(0) => f(0) = 0
由
f（k·3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0
得：
f(k*3^x + 3^x - 9^x - 2) < f(0)
因为f(x)为增函数,令 u = 3^x得
k*u + u - u^2 -2 < 0
u^2 - (1+k)*u + 2 > 0 对于任意x, u=3^x > 0恒成立
可知 u^2 - (1+k)*u + 2 的图像开口向上，只要对称轴小于0，或者判别式小于0即可，
满足条件的：
1+k < 0 => k<-1
或
(1+k)^2 - 8 < 0
-1-开方(8) < k < -1 + 开方(8)
上面2个条件区并集,得
k < -1 + 开方(8)