定义在R上的增函数y=f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),若f(k·3^x

定义在R上的增函数y=f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),若f(k·3^x)+f(3^x-9^x-2)<0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围... 定义在R上的增函数y=f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),若f(k·3^x)+f(3^x-9^x-2)<0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围 展开
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2013-05-05 · TA获得超过444个赞
知道小有建树答主
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令x=0,y=0,有f(0+0)==f(0)+f(0),可得f(0)=0
f(k·3^x)+f(3^x-9^x-2)=f(k·3^x+3^x-9^x-2)<0=f(0)
又因为f(x)是定义在R上的增函数
故有k·3^x+3^x-9^x-2<0
令t=3^x,则t的范围是(0,+无穷)
有g(t)=-t^2+(k+1)t-2<0对任意t属于(0,+无穷)恒成立。
【接下来是分类讨论,按照对称轴t=k+1和直线x=0的位置关系来分类:】
1)(k+1)/2<0,g(0)=-2<0,由图像性质可知g(t)<0对任意t属于(0,+无穷)恒成立。
2)(k+1)/2=0,g(0)=-2<0,由图像性质可知g(t)<0对任意t属于(0,+无穷)恒成立。
3)(k+1)/2>0,g(0)=-2<0,由图像性质可知g(t)<0要对任意t属于(0,+无穷)恒成立,必须让g(t)的最大值小于0,实际上就是关于t的方程-t^2+(k+1)t-2=0没有实数解。
有(k+1)^2-8<=0,解得k属于(-2根号2-1,2根号2-1)
综上可知k的范围是(-无穷,2根号2-1]
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