Question

定义在R上的增函数y=f(x)对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，若f（k·3^x

定义在R上的增函数y=f(x)对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，若f（k·3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围

Answer 1

令x=0,y=0，有f(0+0)==f(0)+f(0)，可得f(0)=0
f（k·3^x）+f（3^x-9^x-2）=f(k·3^x+3^x-9^x-2)<0=f(0)
又因为f(x)是定义在R上的增函数
故有k·3^x+3^x-9^x-2<0
令t=3^x,则t的范围是（0，+无穷）
有g(t)=-t^2+(k+1)t-2<0对任意t属于（0，+无穷）恒成立。
【接下来是分类讨论，按照对称轴t=k+1和直线x=0的位置关系来分类：】
1)（k+1）/2<0，g(0)=-2<0，由图像性质可知g(t)<0对任意t属于（0，+无穷）恒成立。
2）(k+1)/2=0，g(0)=-2<0，由图像性质可知g(t)<0对任意t属于（0，+无穷）恒成立。
3）(k+1)/2>0,g(0)=-2<0,由图像性质可知g(t)<0要对任意t属于（0，+无穷）恒成立，必须让g（t)的最大值小于0，实际上就是关于t的方程-t^2+(k+1)t-2=0没有实数解。
有(k+1)^2-8<=0，解得k属于（-2根号2-1,2根号2-1）
综上可知k的范围是（-无穷,2根号2-1]