Question

将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上 的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F， 边AB折叠后与B

将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上 的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F， 边AB折叠后与BC边交于点G（如图）. （1）如果M为CD边的中点，求证：DE∶ DM∶EM=3∶4∶5； （2）如果M为CD边上的任意一点，设AB =2a，问CMG的周长是否与点M的位置 有关？若有关，请把CMG的周长用含D M的长x的代数式表示；若无关，请说明 理由.

Answer 1

1
设正方形边长为a，DE=x，则DM=a/2 EM=EA=a-x
在Rt△DEM中，∠D=90°，
所以DE²=+DM²=EM²
x²+（a/2）²=（a-x）²
x=3a/8 EM=5a/8
DE:DM:EM=3：4:5
2无关

设CM=x，DE=y
则DM=2a-x EM=2a-y
∵∠EMG=90°
∴∠DME+∠CMG=90度
∵∠DME+∠DEM=90°
∴∠DEM=∠CMG
∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG
所以CG/DM=CM/DE=MG/EM
= CG/(2a-x）=x/y =MG/（2a-y）
解得CG=x（2a-x）/y ,MG=x（2a-y）/y
△CMG的周长为CM+CG+MG=（4ax-x²）/y
在Rt△DEM中，DM²+DE²=EM²
（2a-x）²+y²=（2a-y）²
= 4ax-x²=4ay
CM+MG+CG=
（4ax+x²）/y=4ay/y
= 4a
因此与点M位置无关

追问

不对
谢谢

追答

对啊，我做过这道题的