Question

入为何值时，线性方程组有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时，求其通解！线性代数的题!

2x1+λx2-x3=1
λx1-x2+x3=2
4x1+5x2-5x3=-1
急！

Answer 1

写出此方程组的增广矩阵，用初等行变换来解
2 λ -1 1
λ -1 1 2
4 5 -5 -1 第2行减去第3行乘以λ/4，第3行减去第1行×2，第1行除以2
～
1 λ/2 -1/2 1/2
0 -1-5λ/4 1+5λ/4 2+λ/4
0 5-2λ -3 -3
若方程组有无穷多解或无解，
则系数矩阵的行列式等于0，
所以
(-1-5λ/4)*(-3) -(1+5λ/4)(5-2λ)=0
解得λ= -4/5或1
所以λ不等于 -4/5和1的时候，方程组有唯一解

若λ= -4/5，则增广矩阵可以化简为
1 -2/5 -1/2 1/2
0 0 0 9/5
0 33/5 -3 -3
显然系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，方程组无解

若λ= 1，则增广矩阵可以化简为
1 1/2 -1/2 1/2
0 -9/4 9/4 9/4
0 3 -3 -3 第2行除以-9/4
～
1 1/2 -1/2 1/2
0 1 -1 -1
0 3 -3 -3 第1行减去第2行×1/2，第3行减去第2行×3
～
1 0 0 1
0 1 -1 -1
0 0 0 0
那么得到方程组的通解为c*(0,1,1)^T + (1,0,1)^T ，c为常数

综上所得
λ不等于 -4/5和1的时候，方程组有唯一解，
λ= -4/5时，方程组无解
λ= 1时，方程组的通解为c*(0,1,1)^T + (1,0,1)^T ，c为常数