Question

已知函数f(x)=1/3x^3-ax^2+1

已知函数f(x)=1/3x^3-ax^2+1
1.若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0平行，求a的值

2.若a＞0，函数y=f(x)在区间（a,a^-3）上存在极值，求a的取值范围。
3.若a＞2,求证：函数y=f(x)在（0,2）上恰有一个零点。

谢谢！

Answer 1

1、f(x)=x^3/3-ax^2+1，f'(x)=x^2-ax
x=1时，切线与已知直线平行，则有
f'(1)=1-a=-1，解得a=2
2、a>0时，函数在(a,a^-3)上极值存在
则有f'(x)=x^2-ax=0在(a,a^-3)上有解
f'(x)=0的解为x=0或x=a
显然x=0不在该区间上，只有x=a∈(a,a^-3)
即有 0<a<a^-3
解得 0<a<1
∴a的取值范围为(0,1)
3、a>2时，有
f(0)=1>0, f(2)=8/3-4a+1=(11-12a)/3<0
f(0)*f(2)<0，∴f(x)在(0,2)上至少有一个零点
f(x)在x=0和x=a处取得极值，且f(x)为三次函数
∴f(x)在(0,a)上是单调函数
又a>2，∴f(x)在(0,2)上也为单调函数
∴f(x)在(0,2)上至多有一个零点
综上所述，函数在(0,2)上恰有一个零点

Answer 2