Question

函数f(x)=cos^4x-2sinxcosx-sin^4x,x属于[0,π/2],求f(x)的最大值,最小值

要详细过程~~谢谢了

Answer 1

f(x)=cos^4x-2sinxcosx-sin^4x

=(cos²x-sin²x)(cos²x+sin²x)-2sinxcosx

=cos2x-sin2x

然后和差化积

=√2·cos[(2x) + (π/4)]

∵x∈[0，π/2]，∴[(2x) + (π/4)]∈[π/4，5π/4]，

∴cos[(2x) + (π/4)]∈[√2/2，-√2/2]
∴f(x)max = 1 ，f(x)min = -√2

Answer 2

利用二倍角公式，把函数化为cos2x和sin2x形式，由于x属于[0,π/2]，所以sin2x总是正数，于是可以利用sin2x=根号（1-(cos2x)^2）来把f(x)统一成关于cos(2x)的二次函数，这样的话再根据cos(2x)的取值范围，最大值和最小值应该会比较好求的。提供了思路，你自己动笔算一下吧，手机党打字不方便哦！

Answer 3

f(x)=cos^4x-2sinxcosx-sin^4x = [(cosx)^2+(sinx)^2][(cosx)^2-(sinx)^2] - sin2x
=[(cosx)^2-(sinx)^2] - sin2x = cos2x - sin2x = √2·cos[(2x) + (π/4)]
∵x∈[0，π/2]，∴[(2x) + (π/4)]∈[π/4，5π/4]，∴cos[(2x) + (π/4)]∈[-1，√2/2]
∴f(x)max = 1 ，f(x)min = -√2