Question

求教什么叫做柯西不等式？具体点谢谢了

Answer 1

三角形式的证明
　　√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]　　证明：[√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2·√(a^2+b^2)·√(c^2+d^2)　　≥a^2+b^2+c^2+d^2+2|ac+bd|　　≥a^2+b^2+c^2+d^2+2(ac+bd)　　=a^2+2ac+c^2+b^2+2bd+d^2　　=(a+c)^2+(b+d)^2　　两边开根号即得 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]　　注：| |表示绝对值。
向量形式的证明
令m=(a1,a2，…，an)，n=(b1,b2，…，bn)m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos<<b>m,n>=√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn) ×cos<<b>m,n>　　∵cos<<b>m,n>≤1　　∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn)　　注：“√”表示平方根。
一般形式的证明　　(∑(ai^2))(∑(bi^2)) ≥ (∑ai·bi) ^2　　证明：　　等式左边=(ai·bj+aj·bi)+.................... 共n2 /2项　　等式右边=(ai·bi)·(aj·bj)+(aj·bj)·(ai·bi)+...................共n2 /2项　　用均值不等式容易证明 等式左边≥等式右边 得证推广形式的证明　　推广形式为 (x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n (*)　　证明如下　　记A1=x1+y1+…，A2=x2+y2+…，….　　由平均值不等式得　　　(1/n)(x1/A1+x2/A2+…+xn/An)≥[x1*x2*…*xn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)=[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)　　(1/n)(y1/A1+y2/A2+…+yn/An)≥[y1*y2*…*yn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)=[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)　　……　　　上述m个不等式叠加得　　　1≥[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+…　　　即(A1*A2*…*An)^(1/n)≥(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…　　　即 A1*A2*…*An≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n　　　即(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n　　　因此，不等式(*)成立.　　（注：推广形式即为卡尔松不等式）代数形式　　设a1，a2，...an及b1，b2，...bn为任意实数　　则(a1b1+a2b2+...+anbn)①，当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn（规定ai=0时，bi=0）时等号成立。注：以上仅是柯西不等式部分形式的证明。