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已知AB是椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的长轴,若把该长轴n等分,过每个等分点作AB的垂线,
依次交椭圆上半部分与点P1,P2,P3.....P(n-1),设椭圆左焦点为F1,则
lim1/n(|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+......+|F1P(n-1)|+|F1B|)=
解:
因为点F1到椭圆上任意一点的距离等于该点到左准线的距离乘以离心率e=c/a
又因点Pk(k=1,2,3,4......,(n-1))到左准线的距离等于a²/c-a+k×(2a/n)
所以|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+......+|F1P(n-1)|+|F1B|=e×((n+1)×(a²/c-a)+(1+2+3+……+n)×(2a/n))=e×((n+1)×(a²/c-a)+a(n+1))=a(n+1)
所以lim1/n(|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+......+|F1P(n-1)|+|F1B|)=a(n+1)/n=a.
依次交椭圆上半部分与点P1,P2,P3.....P(n-1),设椭圆左焦点为F1,则
lim1/n(|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+......+|F1P(n-1)|+|F1B|)=
解:
因为点F1到椭圆上任意一点的距离等于该点到左准线的距离乘以离心率e=c/a
又因点Pk(k=1,2,3,4......,(n-1))到左准线的距离等于a²/c-a+k×(2a/n)
所以|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+......+|F1P(n-1)|+|F1B|=e×((n+1)×(a²/c-a)+(1+2+3+……+n)×(2a/n))=e×((n+1)×(a²/c-a)+a(n+1))=a(n+1)
所以lim1/n(|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+......+|F1P(n-1)|+|F1B|)=a(n+1)/n=a.
追问
上海文科 不学离心率的。。- -我看不懂的要。
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可利用椭圆本身的性质,即椭圆上任一点到两个焦点长度和是定值2a.则令右焦点与上述点长度和与原式中括号部分相加,则得总长为2(n+1)a,从对称角度来看两个焦点长度和是想等的,故原左式=(n+1)a/n,当n趋于无穷大时,=a
空内填a
空内填a
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点A和点B关于y轴对称,画个图可以看出来|F1A|+|F1B|等于一个定值,题目中那些东西加起来看做n/2个这样的定值就可以求了
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有没答案
是不是 a
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由于椭圆的对称性,有P1F1=Pn-1F2,所以Pn-1F1+Pn-1F1=Pn-1F2+Pn-1F1=2c,同理Pn-2F1+Pn-2F1=2a.......所以原式=lim1/n【2c*(n-1)/2】=lim(n-1)*a/n=a
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