Question

双曲函数是一类在物理学上具有十分广泛应用的函数,其中定义双曲余弦函数为chx=（e^x+e^-x)/2,则函数y=ch(

双曲函数是一类在物理学上具有十分广泛应用的函数,其中定义双曲余弦函数为chx=（e^x+e^-x)/2,则函数y=ch(2x)-chx的值域为？ 谢谢

Answer 1

解：据题，得：

              y=ch(2x) - chx

                =½(e^2x+e^-2x)-½(e^x+e^-x)，

       令t=e^x，则：

           f(t)=y=½(t²+1/t²)-½(t+1/t)

                   =½(t²+2+1/t²-2)-½(t+1/t)

                   =½[(t+1/t)²-2]-½(t+1/t)，(t>0)

       再令a=t+1/t，则：

          g(a)=f(t)=½(a²-2)-½a

                       =½(a²-a-2)

                       =½(a-2)(a+1)，

      其中，a=t+1/t≥2√(t▪1/t)=2，当且仅当t=1/t，即t=1，x=0时，a取得最小值2，故a≥2，

      则g(a)=½(a-2)(a+1)表示一条开口向上，以a=½为对称轴的抛物线落在区间[2，+∞)上的部分。

      由图可知，g(a)在区间[2，+∞)上恒非负，即g(a)≥0，

      ∴g(a)=f(t)=y≥0，故原函数值域为[0，+∞).