Question

求赐教高中数学证明：cos(x-y)=cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y),哎，，大三了，，这些都忘光了。。。

最好不用向量来解答，，，

Answer 1

在直角坐标系xoy中，作单位圆O，

并作角α，β，-β，α+β

Ox交⊙O于P1，α终边交⊙O于P2；

α+β终边交⊙O于P3；

角-β终边交⊙O于P4.

依三角函数的定义，

得P1、P2、P3、P4的坐标分别为

P1（1，0），P2（cosα,sinα）、

P3（cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)).

连接P1P3，P2P4. 

则∣P1P3∣=∣P2P4∣.依两点间距离公式，得

∣P1P3|²=[cos(α+β)-1]²+[sin(α+β)-0]²

∣P2P4|²=[cos(-β)-cosα]²+[sin(-β)-sinα]²

∴[cos(α+β)-1]²+sin²(α+β)=[cosβ-cosα]²+[sinβ+sinα]²

展开整理，得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)

∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ   ----------------    Cα+β

.该公式对任意角α，β均成立

在公式Cα+β中，用-β替代β.

cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)

∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ……Cα-β.该公式对任意角α，β均成立.

 

公式还可以用向量证明的，传一个几何画板课件你可以看看

Answer 2

这个证明不是那么简单。还是当成公式记住的好。如果想证的话，可以尝试在坐标系中利用线段表示正弦余弦值，然后利用简单几何知识求解。

Answer 3

建立坐标系设向量A=（cosx，sinx) B=(cosy,siny),显然AB=cosxcosy+sinxsiny=|A||B|cos(x-y)

Answer 4

这个不是公式嘛😓

Answer 5

可以用向量证明