Question

如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC，点P在△ABC内，且PA=√3，PB=5，PC=2，求△ABC的面积。

Answer 1

首先作△ABQ，使得：∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，即可得△ABQ∽△ACP，即可得△ABQ与△ACP相似比为2，继而可得△APQ与△BPQ是直角三角形，根据直角三角形的性质，即可求得△ABC的面积．

解：如图，作△ABQ，使得：∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，

则△ABQ∽△ACP，

∴AB=2AC，

∴△ABQ与△ACP相似比为2，

∴AQ=2AP=2根号3    ，BQ=2CP=4，∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°，

∵AQ：AP=2：1，

∴∠APQ=90°，∠AQP=30°，

∴PQ=根号AQ²-AP²=3

∴BP²=25=BQ²+PQ²，

∴∠BQP=90°

作AM⊥BQ于M，

由∠BQA=∠BQP+∠AQP=120°，

∴∠AQM=60°，QM=根号3    ，AM=3，

∴AB²=BM²+AM²=28+8根号3

∴S△ABC=1/2AB*AC*sin60°=根号3/8AB²=6+7根号3/2．