Question

若双曲线x^2-y^2/a=1(a>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于根号3，求双曲线方程

Answer 1

由题意可知，渐近线方程为：y=根号a，(a>0）
则，根号a-c=根号3............(1)
再由，a+1=c^2.....................(2)
联立方程组（1）、（2），可解得，a=2/3 ,
所以，双曲线的方程为x^2-y^2/(2/3)=1，即 x^2-3*y^2/2=1

追问

渐近线方程好像求错了?

追答

在双曲线方程x^2/a^2-y^2/b^2=1中，
渐近线方程为，y=正负b/a，
因为a>0，所以y=b/a
结合题目，这里的b^2=a，a^2=1
所以，b=根号a，a=1 ，即 y=根号a

Answer 2

令x^2-y^2/a=0，得到y=(+-va)x，这就是两条渐近线的方程，其中一条的斜率k=va；
c=v（1+a），焦点坐标为（c，0），到渐近线y=vax的距离为：c*[k/v(k^2+1)]；
即：v3=v（1+a）*[va/v（a+1）]=va，即：a=3；
双曲线方程为：x^2-y^2/3=1。