Question

直线l过点（1,0），与抛物线y^2=4x相交所得的弦长为8，求直线l的斜率K和弦中点p的坐标。

O(∩_∩)O谢谢！

Answer 1

解：设直线L的斜率为K，
∵直线L过点（1,0）
∴直线L为：y=kx-k
∴[k(x-1)]^2=4x
整理得：k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0
∴x1+x2=(2k^2+4)/k^2,x1x2=1
(x2-x1)^2=(x1+x2)^2-4x1x2
=[(2k^2+4)/k^2]^2-4
=16(k^2+1)/k^4
同理有：y^2=4(y+k)/k
整理得：ky^2-4y-4k=0
y1+y2=4/k,y1y2=-4
(y2-y1)^2=(y1+y2)^2-4y1y2
=(4/k)^2-4(-4)
=16(1-k^2)/k^2
又弦长为8
∴8=√(x2-x1)^2+(y2-y1)^2
=√{[16(k^2+1)/k^4]+[16(1-k^2)/k^2]}
=√16(1+2k^2-k^4)/k^4
两边同时平方得：64=16(1+2k^2-k^4)/k^4
整理得：5k^4-2k^2-1=0
k^2=(1+√6)/5,k^2=(1-√6)/5 (∵k^2≥0，舍去）
k=±√(1+√6)/5

Answer 2

抛物线y²=2px
p=2
焦点为（p/2，0)，即为（1，0）。
直线l过焦点，弦长为焦点弦长。
直线l的解析式y=k（x-1）
直线和抛物线方程联立，
得k²（x-1）²=4x，
k²（x²-2x+1）=4x，
k²x²-（2k²+4）x+k²=0
根据韦达定理，x1+x2=（2k²+4）/k²
又焦点弦长8=x1+x2+p=（2k²+4）/k²+2
k=±1

设弦中点为（x,y）

则x=(x1+x2)/2=1+2/k^2=3(利用根与系数的关系)
(y/2)^2=(y1+y2)^2=y1^2+2y1y2+y2^2=4(x1+x2)+4*根号（x1*x2）
=4(2+4/k^2+1)=12+16/k^2

然后消去k^2
y^2=2(x－1)
y=±2

弦中点为（3，±2）