Question

数学高手快来，要详细！设0<a.b.c<1.求证(1-a)b.(1-b)c，(1-c)a不同时大于1/4

详细过程

Answer 1

用反证法证明：
假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4
因0<a<1,0<b<1,0<c<1
所以有
√[(1-a)b]>1/2,√[(1-b)c]>1/2,√[1-c)a]1/2
则
√(1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a) > 3/2 (*)
而由基本不等式：a,b∈R+, a+b≥2√(ab), 有
√((1-a)b)≤(1-a+b)/2，
√((1-b)c)≤(1-b+c)/2，
√((1-c)a)≤(1-c+a)/2
以上三式相加：
√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)≤3/2
这与假设得到的：√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a) > 3/2 (*)矛盾
所以假设不成立,
故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于1/4 即(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a，不可能同时大于1/4

Answer 2

用反证法证明: 假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4 即(1-a)b>1/4 (1-b)c>1/4 ,(1-c)a>1/4 由 (1-a)b>1/4 得(1-a)ab>a/b （∵0<a<1）【1】 又∵0<a<1 ∴1-a>0 ∴（1-a)a≤[（1-a） +a ]的和的1/2的平方=1/4 而b>0 ∴(1-a)ab≤b/4 【2】 由【1】与【2】 得 a/4<(1-a)ab≤b/4 ∴a/4<b/4 ∴a<b 同理可证：b<c c<a ∴a<b<c<a ∴a<a这是不可能的 ∴ 假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4 是错误的 ∴(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a，不可能同时大于1/4