Question

已知如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连

接DH与BE相交于点G。
(1)求证：BF=AC；
(2)求证：CE=二分之一 BF；
（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论

Answer 1

证明：∵∠ABC=45°，CD⊥AB∴BD=CD∵∠ACD+∠A=∠DBF+∠A=90°∴∠ACD=∠DBF∵∠BDF=∠ADC=90°∴△BDF≌△CDA∴BF=AC(2)△BDF≌△CDA∴AC=BF∵BD⊥AC，BD平分∠ABC易得△ABC是等腰三角形∴CE=1/2AC=1/2BF（3）连接CG∵H是BC中点∴DH是BC的垂直平分线∴BG=CG在△CEG中，CG>CE（斜边大于直角边）∴BG>CE

Answer 2

(1)证明△ACD≌△FBD条件（ASA），一个直角，一个8字形中∠ABE=∠ACD,直角等腰三角形BDC中，BD=CD，得证BF=AC

(2)BE平分∠ABC且BE⊥AC，三线合一得E是AC中点，CE=1/2AC=1/2BF

(3)大角对大边，在三角形ABC中，∠A>∠ABC，所以BC>AC,所以BH>CE（中点），在三角形BGH中BG>BH,所以BG>CE.