Question

如图,四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=Rt∠,BE⊥AC于E,延长交AD于F

（1）证明AB²=AD×AF
（2）已知AB=6，BD=12，AD=9，问AF和BF的长

Answer 1

(1）证明：连接BD
因为角ABC=角ADC=90度
所以角ABC+角ADC=180度
所以A,B,C,D四点共圆
所以角ABD=角ACD
因为BE垂直AC
所以角AEF=90度
所以角AEF=角ADC=90度
所以E,C,D,F四点共圆
所以角AFB\角ACD
所以角ABD\角AFB
因为角BAD=角BAD
所以三角形BAF和三角形DAB相似（AA)
所以AB/AF=AD/AB
AB^2=AD*AF
(2)解;：因为三角形BAF和三角形DAB相似（已证）
所以AB^2=AF*AD
BF/BD=AB/AD
因为AB=6 BD=12 AD=9
所以AF=4
BF=8

追问

四点共圆是什么我们没有学
∠ABD？怎么是个角

追答

没学四点共圆，用三角形相似证
证明：因为BE垂直AC
所研究AEB=角AEF=90度
因为角ABC=90度
所以角ABC=角AEB=90度
因为角BAC=角BAC
所以三角形BAE和三角形CAB相似(AA)
所以AB/AC=AE/AB
AB^2=AE*AC
因为角ADC=90度
所以角AEF=角ADC=90度
因为角FAE=角FAE
所以三角形FAE和三角形CAD相似（AA)
所以AF/AC=AE/AD
所以AF*AD=AE*AC
所以AB^2=AF*AD

追问

那第二问呢

追答

(2)j解：因为AB^2=AF^AD（已证）
AB=6 AD=9 BD=12
所以AF=4
所以AF/AB=4/6=2/3
AB/AD=6/9=2/3
所以AF/AB=AB/AD
因为角BAF=角BAF
所以三角形BAF和三角形DAB相似
所以BF/BD=AF/AB
所以BF/12=4/6
所以BF=8

Answer 2

1. ∠AFE=∠ACD,三角形AEF与三角形ADC相似，故AD×AF=AC*AE,同理知道三角形ABE与三角形ACB相似，AB²=AC*AE，所以有AB²=AD×AF

2. AF=36/9=4,在三角形ABD中，cos∠BAD=（36+81-144）/（2*6*9），将公式用于三角形ABF中可以求出BF=8

追问

cos我们没有学