Question

已知O为三角形ABC的外心,若5向量OA+12向量OB-13向量OC=0，则角ACB等于

Answer 1

你好，外心的题目不好做的：
5OA+12OB-13OC=0，即：5OA+12OB=13OC
即：13^2|OC|^2=(5OA+12OB)·(5OA+12OB)=5^2|OA|^2+12^2|OB|^2+120OA·OB
=5^2|OA|^2+12^2|OB|^2+120|OA|*|OB|*cos(∠AOB)
O是外心，故：|OA|=|OB|=|OC|
即：13^2=5^2+12^2+120cos(∠AOB)
即：cos(∠AOB)=0，即：∠AOB=π/2
注意，因为向量夹角的范围是[0,π]，所以∠AOB只能给出π/2
但实际上OA与OB在三角形中成的角可以是大于π的
即对应O点在三角形外的情况，此时，∠C为大于π/2的角
其实此题的∠AOB要按照三角形里的角来处理
即：∠AOB=3π/2，故：∠ACB=∠AOB/2=3π/4
主要依据：13OC=5OA+12OB，说明OC的方向要在OA和OB之间
这里用的又是向量的夹角概念，即说明O点在三角形外
如果题干换作：5OA+12OB+13OC=0，则：∠ACB=π/4