Question

数学小题，求15分钟内回答出来，谢谢

在直角坐标系xoy中,双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1上有一点P到它的两个焦点的距离之差为8,一条渐近线的倾斜角为arctan(3/4).(1)求双曲线方程,设P为双曲线上一点,过P作一条渐近线的平行线交另一条渐近线于M点,求三角形OPM的面积S

Answer 1

有一点P到它的两个焦点的距离之差为8，即实轴=8，半实轴=4，
一条渐近线的倾斜角为arctan(3/4).则半虚轴=3
X方/16-Y方/9=1
三角形的面积，其实是过P分别做两渐近线的平行线，得到的平行四边形的一半。
这个平行四边形面积是固定的，可以取P（4，0）来计算。

你的想法是，要说明平行四边形的面积是固定的。
这可转化为：双曲线上一点到两渐近线的距离之积为定值。

设P（x,y)
x^2/a^2 - y^2/b^2 =1
b^2*x^2 - a^2*y^2 =a^2*b^2
双曲线的渐近线bx±ay=0
设P到两渐近线距离为d1 d2
d1=|bx+ay|/√(a^2+b^2)
d2=|bx-ay|/√(a^2+b^2)
d1*d2=|b^2*x^2-a^2*y^2|/(a^2+b^2)
=a^2*b^2/(a^2+b^2)
所以双曲线上任意一点到两条渐近线的乘积是定值

由此可得出平行四边形面积为定值。

在具体的题目中，这些结论都可以直接使用。

Answer 2

百度的参考下哈
解(简解):
(1)依题意有
{a^2+b^2=(10/2)^2, (b/a)^2=9/16}
<==>a^2=16,b^2=9
故曲线为x^2/16-y^2/9=1

(2)右顶点为P(4,0)
过P平行于渐近线的直线为
y=3/4*(x-4) (1)
另一渐近线为
y=-3/4*x (2)
由(1)、(2)得交点M(2,-3/2)
故三角形OPM面积
S=1/2*|4*(-3/2)|=3。

【数学之美】很高兴为你解答，不懂请追问！满意请采纳，谢谢！O(∩_∩)O~

追问

这P点让我好纠结，这不过是猜想，虽然答案是对的

追答

曲线为x^2/16-y^2/9=1
方程x²／a²-y²／b²=1(a＞0,b＞0)
c²＝a²＋b²
焦点坐标（-c,0）,(c,0)
那么“双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1上有一点P到它的两个焦点的距离之差为8,”
所以两焦点距离为之差就是两顶点之间距离正好=8，
一条渐近线的倾斜角为arctan(3/4).则渐近线是过1,3象限的，
则P点为顶点即可，不一定只是右顶点，因为最终求出来的面积都是一样大的

Answer 3

2a=8; a=4 b/a=3/4; b=3
(1)双曲线：x²/16-y²/9=1;
(2)P(x1,y1); 则PM：y-y1=¾(x-x1); 与另一条渐近线y=-¾x的交点M（½x1-⅔y1,(-3/8)x1+½y1)
三角形OPM的高=M点到直线PM的距离=

Answer 4

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