Question

在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知向量m=(cosB,-cosA),向量n=（2c+b，a）且向量m∥向量n

（1）求sinB+sinC的取值范围
（2）若a=4根号3，b+c=8，求△ABC的面积

Answer 1

∵向量m∥向量n，∴cosB、cosA均不为0，且-cosB/cosA = (2c+b)/a = (2sinC+sinB)/sinA
∴-sinAcosB = 2sinCcosA + sinBcosA ，∴2sinCcosA + sin(A+B) = 0 = sinC·(1 + 2cosA)
∵C是内角，∴sinC≠0，∴cosA = -1/2，A = 2π/3，B+C=π/3
而sinB+sinC = 2sin[(B+C)/2]·cos[(B-C)/2] = cos[(B-C)/2]，∵0<B，C<π/3，∴-π/3<B-C<π/3
∴cos[(B-C)/2]∈[1/2 ,1]，即sinB+sinC的取值范围是[1/2,1]
a^2 = b^2+c^2-2bc·cosA = (b+c)^2-bc，∴bc = 64-48 = 16
∴S△ABC = (1/2)bc·sinA = 4√3

Answer 2

（1）解：依题意：cosBa=-cosA（2c+b) ∴sinAcosB=-cosA(2sinC+sinB) ∴cosA=-1/2 ∴A=2π/3 ∴B+C=60° ∴ 原式=sinB+sin(60°-B）=sin(B+60°)∈（√3/2，1]
（2）解：cosA=（b^2+c^2-16)/(2bc)=-1/2 得bc=48 ∴S=1/2 * bc * sinA=12√3