高中数学-解析几何-代数法求弦长疑点
在教辅书上看到这样一句话，其内容是关于代数法求弦长：“...消去一个未知数得到一个二元一次方程，利用根与系数的关系可得弦长|AB|...”请大家帮我具体地解释一下这个过程...
在教辅书上看到这样一句话，其内容是关于代数法求弦长：“...消去一个未知数得到一个二元一次方程，利用根与系数的关系可得弦长|AB|
...”请大家帮我具体地解释一下这个过程（最好可以举例说明），谢谢！ 展开
...”请大家帮我具体地解释一下这个过程（最好可以举例说明），谢谢！ 展开
1个回答
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比如，圆 x² + y² = 4 和 直线 y = kx + b
它们的交点为 (x1 ,y1) 和 (x2, y2)
则弦长 = √(x1 - x2)²+ (y1 - y2)²
因为两个交点都是在直线上的，所以
y1 = kx1+b
y2 = kx2+b
(y1-y2)² = (kx1-kx2)² = k²(x1-x2)² 代入前面的弦长公式，就得到带k的弦长公式
不用死记这种公式，你按推导自己计算也可以的
当然，计算 (x1-x2)² 的时候，可以
(x1-x2)² = (x1+x2)² - 4x1x2
然后把圆方程和直线方程联立，得到 关于 x的一元二次方程，再用根与系数关系去计算上面的式子
你说的“消去一个未知数得到一个二元一次方程”，应该是 一元二次方程
它们的交点为 (x1 ,y1) 和 (x2, y2)
则弦长 = √(x1 - x2)²+ (y1 - y2)²
因为两个交点都是在直线上的，所以
y1 = kx1+b
y2 = kx2+b
(y1-y2)² = (kx1-kx2)² = k²(x1-x2)² 代入前面的弦长公式，就得到带k的弦长公式
不用死记这种公式，你按推导自己计算也可以的
当然，计算 (x1-x2)² 的时候，可以
(x1-x2)² = (x1+x2)² - 4x1x2
然后把圆方程和直线方程联立，得到 关于 x的一元二次方程，再用根与系数关系去计算上面的式子
你说的“消去一个未知数得到一个二元一次方程”，应该是 一元二次方程
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