Question

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的离心率为根号2/2,左右焦点分别为F1F2，点P(2,根号3),F2在线段PF1的中垂线上

求椭圆方程设直线y=kx+m与椭圆交于MN两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为ab,且a+b=π，证明直线过定点，并求该顶点坐标过程

Answer 1

分析：(1)根据椭圆的离心率求得a和c的关系，进而根据椭圆C的左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)。又点F2在线段PF1的中垂线上。
推断|F1F2|=|PF2|，进而求得c，则a和b可得，进而求得椭圆的标准方程．
（2）设直线MN方程为y=kx+m，与椭圆方程联立消去y，设M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理可表示出x1+x2和x1x2，表示出直线F2M和F2N的斜率，由α+β=π可推断两直线斜率之和为0，把x1+x2和x1x2代入即可求得k和m的关系，代入直线方程进而可求得直线过定点． 解：（1）由椭圆C的离心率e=√2/2得：c/a=√2/2，其中c=√(a�0�5-b�0�5)，
椭圆C的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）。又点F2在线段PF1的中垂线上，
∴|F1F2|=|PF2|，∴(2c)�0�5=(√3)�0�5+(2-c)�0�5，解得c=1，a�0�5=2，b�0�5=1，
∴ 椭圆的方程为x�0�5/2+y�0�5=1．
（2）由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为y=kx+m．

Answer 2

c/a=根号2/2设y=k1x+m过PF1，y=k2x+n过PF1中垂线则有：根号3=2*k1+m 0=-c*k1+m 0=c*k2+n 根号3/2=（2-c）/2*k2+n k1*k2=-1 则c=1或-7/3，又c>0,所以c=1，所以a=根号2又有a�0�5-b�0�5=c�0�5（a>b>0），所以b=1所以所求方程为x�0�5/2+y�0�5=1 证明弄不来