Question

高二数学已知数列an中，a1=1an+1=

已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an／an+2 求a1，a2，a3。猜想an表达式并用数学归纳法证明

Answer 1

解由a（n+1）=2an／an+2
取倒数1/a（n+1）=（an+2）／2an=1/2+1/an
即1/a（n+1）=1/2+1/an
即1/a（n+1）-1/an=1/2
即｛1/an｝是等差数列，首项为1/a1=1/1=1，公差d=1/2
即1/an=1/a1+（n-1）d=1/1+(n-1）*1/2=(n+1）/2
即1/an=(n+1）/2
即an=2/(n+1)

数学归纳法为
由a1=1，an+1=2an／an+2
即a1=1=2/2
a2=2a1/（a1+2）=2/3
a3=2a2/（a2+2）=2*2/3/[2/3+2]=1/2=2/4
即猜想an=2/(n+1).............................①
1当n=1时,a1=2/(1+1)=1，而a1=1 即（1）式 成立
2假设当n=k时ak=2/(k+1)成立
则当n=k+1时有
a(k+1)=2ak/(ak+2)
=4/(k+1)/[2/(k+1)+2]
=2/(k+2)
=2/(k+1)+1
可见当n=k+1时（1）式也成立
由1和2知猜想成立。

Answer 2

1. a2=a1/(a1+2)=1/3
a3=a2/(a2+2)=1/7
a4=a3/(a3+2)=1/15
2. 猜想an=1/[(2^n)-1]。。。。。。。。。。（1）
3. 数学归纳法证明
当n=1时,an=1/(2^1-1)=1，（1）式 成立
假设当n=k时ak=1/[(2^k)-1]成立
则当n=k+1时有
a(k+1)=ak/(ak+2)
=1/[(2^k)-1]÷{1/[(2^k)-1]+2}
=1/[2^(k+1)-1]
可见当n=k+1时（1）式也成立

Answer 3

数学归纳法比较死板