Question

数学建模题目

某企业使用叉车运输底面为长方形的箱子。这些箱子放在叉车的正方形底板上，箱子的规格是统一的（所有箱子的长方形底面的形状相同）。通常在一次运输上，规定箱子只能像图中这样横着放，或者竖着放。如图所示, 叉车置放箱子的底板是一个边长为1.1米的正方形。下图所示的便是一种可行的摆放方法，但不一定是最优的。现在这个企业需要你们帮助建立一个通用的优化模型，使得给定长方形箱子的长和宽之后，利用这个模型就能算出该如何摆放箱子（不需考虑箱子的高度，即只考虑摆放一层箱子），才能使得一次摆放的箱子数量最多。

问题1：如果箱子不允许超出叉车底板（如上图所示情形）, 也不允许长方形箱子相互重叠， 建立优化模型，考虑如何摆放这些箱子，才能使摆放的箱子数量最多?
对于下表中型号1的箱子，最多可以摆放多少个箱子，该如何摆放？如果你们能画出摆放示意图，那么将有助于这个企业更快地理解你们的方法。
利用你们构建的模型，再分别计算型号2和型号3的箱子最多可以摆放多少个箱子，该如何摆放?
长（米）
宽（米）

箱子型号1
0.3
0.24

箱子型号2
0.6
0.4

箱子型号3
0.3
0.2

问题2：假设箱子的密度都是均匀的，允许箱子在正方形底板的上方，左边，右边部分超出底板（下方紧靠叉车壁，不能超出），但不至于掉落出叉车底板。对于这种情况，请谈谈你们的想法。

Answer 1

这个模型其实是计算底板正方形边长1.1M时，求小箱子的边长的最大整数值。

1.设小箱子边长为a*b,假设a>b,

设可摆放每边的长度可摆放边a的是n1,边长b的是n2(单对每边来说)

则取f(n1,n2)=min(1.1-n1*a-n2*b)>0,当f(n1,n2)越接近0时摆放地越紧密。

用1号箱来说，a=0.3 b=0.24,当取n1=2,n2=2时f(n1,n2)=1.1-1.08=0.02

同理2号箱为 n1=1  n2=2

3号箱为  n1=1 n2=4  或n1=3,n2=1

2.可将f(n1,n2)-=min(1.1-n1*a-(n2-1)*b)>0  每边多排列两个半个才不会掉。

即看做1.1+b的正方形

追问

你求出的第一题n1与n2是代表什么？不懂

追答

正方形单边的小箱子数量,即为1.1m时，1号箱边长那边看的话:a横放,2个 ;b竖放2个

第2问应该看做1.1*(1.1+a)的长方形，同时对两个边求函数最小值。

第1问中总箱子数量为[1.1*1.1/(n1a+n2b)]*(n1+n2)
第2问总数[1.1*(1.1+a)/(n1a+n2b)]*(n1+n2)

追问

我第一问按照你公式算出来箱子一只能放四个，能不能再解释详细点，还是有点蒙

追答

求出4个这个东西，是相对面积的一个单位
当面积除以这个单位时，就是N个单位达到最大值
----运用了面积的性质

[(1.1*1.1)/(2*0.3+2*0.24)]*(2+2)才是最后的总数量，一个追问答案里有公式啊