Question

关于泛函分析（functional analysis）的一道证明题，求大神来解

in a finite dimensional normed vector space, every closed and bounded subset is compact.

Answer 1

有限维空间的有界闭集是紧集……这个还是充分必要条件。泛函的题都不太好写，下面只写思路。
设M是该集合的一个开覆盖，假设没有有限子覆盖，因为集合有界，则能被一个方体盖住，将方体按照小方格剖分，至少有一个没有有限子覆盖，再剖分（变长变小）这个小方体，有至少有一个没有……以此类推，得到一列数列，因为原来是闭的集合，所以它形成的子空间是完备的，所以这些小方体中间有一个公共点，刚才得到的数列也收敛到这里。然后这个点根据构造是没有有限子覆盖的，然而这与M是开覆盖矛盾。
有限维空间的东西和Rn是几乎一样的，所以Rn的方法基本上都可以搬到这里来。
如果你知道对称化，那么有界闭集可以对称到一个有界闭凸集上（从而与一个子空间中的单位球同胚），而又Riesz定理，有限维空间中的单位球是紧的，从而原来的集合也是紧的。
希望你泛函分析学的顺利！

楼下说的几个定理不是你想要的那个，楼下说的定理是 度量空间中的紧集与完全有界集是等价的。完全有界使用 e（epsim好像这么写，是在打不出来）)网 衡量的，而这个epsim网子一定程度上就是覆盖，但是不需要闭性质，也不需要维数有限性。

Answer 2

http://en.wikipedia.org/wiki/Heine%E2%80%93Borel_theorem

Answer 3

Heine–Borel theorem

Answer 4

有限维赋范线性空间，可以用归纳法，首先一维的时候是显然的，然后归纳一下就可以了。证明过程不是很复杂，推广的结果可以看Rudin的泛函分析

Answer 5

是要证明该泛函的闭线性子空间是连续的啊，书上应该有这道题的，翻书去吧