Question

已知函数f（x）=ax/（1+x^a），x>0,a为常数，数列an满足a1=1/2，an+1=f（an），证明对任意n为正整数都有a

已知函数f（x）=ax/（1+x^a），x>0,a为常数，数列an满足a1=1/2，an+1=f（an），证明对任意n为正整数都有a1a2a3+a2a3a4+...+an+an+1+an+2=n(n+5)/12(n+2)(n+3)恒成立

Answer 1

a(n+1)=[f(√an)]^2,
a(n+1)=[√an/(√an+1)] ^2.
则√a(n+1)=√an/(√an+1)
1/√a(n+1)= (√an+1)/√an
即1/√a(n+1)=1+1/√an，
所以数列{1/√an }是等差数列，所以1/√an=1+(n-1)*1,
1/√an=n,an=1/n^2.

1、
a1=f(x)=x/√(1+x²)
a2=f(a1)=[x/√(1+x²)]/√[1+x²/(1+x²)]=[x/√(1+x²)]/[√(2x²+1)/√(1+x²)]=x/√(2x²+1)
a3=f(a2)=[x/√(1+2x²)]/√[1+x²/(1+2x²)]=[x/√(1+2x²)]/[√(3x²+1)/√(1+2x²)]=x/√(3x²+1)
a4=f(a3)=[x/√(1+3x²)]/√[1+x²/(1+3x²)]=[x/√(1+3x²)]/[√(4x²+1)/√(1+3x²)]=x/√(4x²+1)
2、
猜想：an=x/√(nx²+1)
证：
由(1)得，n=1时，a1=x/√(1+x²)，表达式成立。
假设当n=k(k∈N+)时，表达式成立，即ak=x/√(kx²+1)，则当n=k+1时，
a(k+1)=f(ak)=[x/√(1+kx²)]/√[1+x²/(1+kx²)]=[x/√(1+kx²)]/[√((k+1)x²+1)/√(1+kx²)]=x/√[(k+1)x²+1]，表达式同样成立。
综上，得数列{an}的通项公式为an=x/√(nx²+1)。