Question

已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1=2,求：

1.直线AC1与平面AA1BB1所成角的正切值
2.二面角B-AC1-D的余弦值
3.四面体AVDC1的体积

Answer 1

1.连接AB1

正四棱柱

AB1=√5

∵C1B1⊥面ABB1A1

∴C1B1⊥AB1

∴直线AC1与平面AA1BB1所成角即∠C1AB1

tan∠C1AB1=B1C1/AB1=√5/5

2.建立如图所示以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴的空间直角坐标系

A(1,0,0) B(1,1,0) C1(0,1,2) 

向量DA=(1,0,0)

向量AC1=(-1,1,2)

向量AB=(0,1,0)

设向量a,b是平面BAC1和平面DAC1的法向量

a·AC1=0            b·AC1=0

a·AB=0              b·DA=0

不妨设a=(2,0,1)

b=(0,-2,1)

cos<a,b>=1/√5*√5=1/5

∵二面角B-AC1-D是钝角

∴二面角B-AC1-D的余弦值=-1/5

我按四面体ABDC1的体积计算的

3.四面体A-BDC1的体积

=1/3*S△ABD*CC1

=1/3*1/2*1*1*2

=1/3

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