Question

dx/dt=y,dy/dt=-sinx,求大神帮忙编一个MATLAB的程序，用龙格库塔法解这个方程组，求关于x,y的数值解

这个方程组的初值可令x=1,y=0，最后需要画出图，也就是plot(y,x)

Answer 1

建立m文件：

function dx=dfun(t,x)        %函数名为dfun，参数为t与x
dx=[x(2);-sin(x(1))];          %以向量形式表示方程

输入：

clear
ts=-15:0.05:15;                                               %步长取0.05
x0=[1,0];                                                         %设定参数初值
options=odeset('reltol',1e-6,'abstol',1e-9);     %提高精度
[t,x]=ode45(@dfun,ts,x0,options);                  %调用ode45计算
plot(x(:,1),x(:,2)),grid                                      %作出y(x)图形
axis equal
gtext('\fontsize{12}x'),gtext('\fontsize{12}y')    %标记字体x

 

但以上并非曲线y=f(x)的完整形状（调整ts的范围也无济于事），原因是y为x的周期函数，而数值解只能求出初值附近的解

 

本题可以求出y=f(x)的解析表达式

由dx/dt=y，dy/dt=-sinx，得

dy/dx=(dy/dt)*1/(dx/dt)=-sinx/y

分离变量，积分得

y^2=2*cos(x)+C，其中C为常数

代入初始条件y(1)=0，可求得C=-2*cos(1)

∴y^2=2*cos(x)-2*cos(1)，此式为原方程组的解析解

 

利用ezplot命令可绘制出完整图像

clear
syms x y
ezplot(y^2-2*cos(x)+2*cos(1),[-8,8,-3,3])
axis equal
axis([-8,8,-3,3])
grid on

 

另外，改变初值将得到不同的图形（为什么？请思考），例如

初值改为：x=1,y=√[2*(cos(1)+1)]-10^(-5)

 

初值改为：x=1,y=√[2*(cos(1)+1)]+10^(-5)