Question

点P是等腰直角三角形ABC底边BC上一点，过P点作AB,AC的垂线，垂足是E，F点D为BC的中点↓

（1)判断△DEF是什么三角形?

Answer 1

△DEF是以EF为底边的等腰直角三角形。
［证法一］
不失一般性，设点P在BD上。
∵BC是等腰直角三角形ABC的底边，∴AB＝AC，又BD＝CD，∴AD⊥PD，而PE⊥AE，
∴A、E、P、D共圆，∴∠PAE＝∠PDE。

∵BC是等腰直角三角形ABC的底边，∴AE⊥AF，又PE⊥AE、PF⊥AF，∴AEPF是矩形，
∴∠PAE＝∠PFE，而∠PAE＝∠PDE，∴∠PFE＝∠PDE，∴P、D、F、E共圆，
∴∠EDF＝∠EPF。
∵AEPF是矩形，∴∠EPF＝90°，而∠EDF＝∠EPF，∴∠EDF＝90°。

∵BC是等腰直角三角形ABC的底边，∴∠B＝45°，又∠BEP＝90°，∴∠BPE＝45°。
∵P、D、F、E共圆，∴∠DFE＝∠BPE＝45°，而∠EDF＝90°，∴∠DEF＝∠DFE＝45°，
∴△DEF是以EF为底边的等腰直角三角形。

［证法二］
不失一般性，设点P在BD上。
∵BC是等腰直角三角形ABC的底边，∴AB＝AC，又BD＝CD，
∴∠ADB＝90°，∠FAD＝45°，AD＝BD。
∵BC是等腰直角三角形ABC的底边，∴AE⊥AF，又PE⊥AE、PF⊥AF，∴AEPF是矩形，
∴PE＝FA。
∵BC是等腰直角三角形ABC的底边，∴∠B＝45°，又∠BEP＝90°，∴PE＝EB，∴EB＝FA。
∵∠B＝∠FAD＝45°、EB＝FA、BD＝AD，∴△BDE≌△ADF，
∴DE＝DF、∠BDE＝∠ADF。
显然有：∠EDF＝∠ADE＋∠ADF＝∠ADE＋∠BDE＝∠ADB＝90°。
由DE＝DF、∠EDF＝90°，得：△DEF是以EF为底边的等腰直角三角形。

Answer 2

证明：⊿DEF是等腰直角三角形，理由如下：
∵∠PEA=∠PFA=∠EAF=90°∴AF=EP
∵AB=AC∴∠B=45°∴∠EPB=90°﹣∠B=45°=∠B
∴EP=EA∴AF=BE
∵D为BC的中点
∴AD=BD ∠FAD=1/2∠BAC=45°=∠B ∠ADB=90°
∴⊿EBD≌⊿FAD
∴DE=DF ∠BDE=∠ADF
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠ADB=90°
∴⊿DEF是等腰直角三角形

Answer 3

△DEF是等腰直角三角形

追问

怎么证明？

追答

很抱歉，有事不在线，没能第一时间帮助到你，你能到百度知道里来提问题，说明你是一个善于动脑的好同学，他俩人的答案都很好，你任选其一吧，我就不再重复了，我在这里只说几点希望对你有所帮助。
做几何题，首先根据题意正确画出图形，这样，问题就解决了一半，比如这个题，做完图你就会发现△DEF是等腰直角三角形，四边形AEPF是矩形。下一步就是如何证明，DE=DF，∠EDF=90°。就先观察DE，DF所在的三角形是不是全等，只要全等自然DE=DF，∠EDF可以和哪些角存在哪些关系，他们相加是不是等于90°。这样问题就解决了。
望学习进步，考试取得好成绩。