Question

如图,点C,D在线段AB上，且△PCD是等边三角形

（1）若∠APB=120°，则△ACP∽△PDB；
（2）当AC，CD，DB满足怎样的关系式时，△ACP∽△PDB

Answer 1

如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，△ACP∽△PDB，

（1）请你说明CD2=AC•BD；
（2）求∠APB的度数．

考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

分析：（1）由△ACP∽△PDB，根据相似三角形的对应边成比例，可得AC：PD=PC：BD，又由△PCD是等边三角形，即可证得CD2=AC•BD；
           （2）由△ACP∽△PDB，根据相似三角形对应角相等，可得∠A=∠BPD，又由△PCD是等边三角形，即可求得∠APB的度数．

 

解答：（1）证明：∵△ACP∽△PDB，
∴AC：PD=PC：BD，
∴PD•PC=AC•BD，
∵△PCD是等边三角形，
∴PC=CD=PD，
∴CD2=AC•BD；

（2）解：∵△ACP∽△PDB，
∴∠A=∠BPD，
∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD=∠CPD=60°，
∴∠PCD=∠A+∠APC=60°，
∴∠APC+∠BPD=60°，
∴∠APB=∠APC+∠CPD+∠BPD=120°．

点评：此题考查了相似三角形的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

追问

不是这道题

追答

照葫芦画瓢

追问

…………好吧 谢谢

Answer 2

∵∠APB=120°,且△PCD是等边三角形 ∴∠APC+∠BPD=60°,∠CAP+∠APC=60° ∴∠BPD=∠CAP ∵∠ACP=∠PDB ∴△ACP∽△PDB

追问

谢谢 第二问呢？

追答

当满足AC=BD时，∵PC=PD;∵∠PCA=∠PDB;∴，△ACP全等△PDB即△ACP∽△PDB。