Question

在△ABC中，若AB=2AC=2,向量AB乘向量AC=-1,若向量AO=x1倍向量AB+x2倍向量AC(o是△ABC外心)则X1+x2=

Answer 1

因为 O 是三角形 ABC 的外心 ，所以 |OA|=|OB|=|OC|=r (r 为三角形 ABC 外接圆半径) ，
由已知，|AB|=2|AC|=2 ，AB*AC= -1 ，
所以，由 BC^2=(AC-AB)^2=AC^2+AB^2-2AB*AC=1+4+2=7 得 |BC|=√7 。
由于 AB*AC=|AB|*|AC|*cosA=2cosA= -1 ，所以 cosA= -1/2 ，sinA=√3/2 ，
因此，由正弦定理得 r=|BC|/(2sinA)=√7/√3=√21/3 ，
因为 AB^2=(OB-OA)^2=r^2+r^2-2OA*OB=4 ，所以 OA*OB=1/3 ，
同理，由 BC^2=(OC-OB)^2=r^2+r^2-2OB*OC=7 得 OB*OC= -7/6 ，
由 AC^2=(OC-OA)^2=r^2+r^2-2OA*OC=1 得 OA*OC=11/6 ，

在 AO=x1AB+x2AC 两端同乘以 OB 得
AO*OB=x1*AB*OB+x2*AC*OB=x1*(OB-OA)*OB+x2*(OC-OA)*OB=x1*(7/3-1/3)+x2*(-7/6-1/3)= -1/3 ，
化简得 2x1-3/2*x2= -1/3 ， （1）
同理，两端同乘以 OC 得
AO*OC=x1*(OB-OA)*OC+x2*(OC-OA)*OC=x1*(-7/6-11/6)+x2*(7/3-11/6)= -11/6 ，
化简得 -3x1+1/2*x2= -11/6 ， （2）
由（1）（2）可解得 x1=5/6 ，x2=4/3 ，
由此得 x1+x2=13/6