Question

若正项级数an收敛，证明an^2也收敛，又若an收敛，但它不是正项级数，那么结论又如何

Answer 1

lim(n→＋∞)(an)^2/an=lim(n→＋∞)an=0，所以(an)^2收敛。如果an不是正项级数，(an)^2可能收敛，也可能不收敛；收敛例:级数1-1/2＋1/3-1/4＋...收敛于ln2，级数1^2＋(1/2)^2＋(1/3)^2＋...＜2，也收敛；发散例:级数1-1/√2＋1/√3-....，根据莱卜尼兹准则可知，该级数收敛，但级数1^2＋(-1/√2)^2＋(1/√3)^2＋...=1＋1/2＋1/3＋...却是发散的。